Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

АКБАР, ДЖЕФФ И ДЕРЕВО ИГРЫ «НИМ»

Как вы можете строго доказать, что не проиграете игру? Вне зависимости от того, насколько хорошо вы играете, обязательно найдется какой-то крохотный кусочек стратегии, который вы упустили из виду, как в каком-то фильме 1980-х о лыжниках, где аутсайдер оставляет позади фаворитов.

Но нет. Мы можем доказать какие-то утверждения об играх точно так же, как и утверждения из геометрии, потому что игры – это геометрия. Я мог бы нарисовать для вас геометрию английских шашек (хотя на самом деле не мог бы, потому что это заняло бы миллионы страниц, а слабый человеческий сенсорный аппарат не смог бы ее понять), но начнем мы с более простой игры «Ним».

Вот ее правила. Два игрока сидят перед грудой камней (количество кучек и камней может быть разным, все варианты все равно называются «Ним»). Игроки по очереди берут камни. За один раз игрок может взять любое количество камней, но только из одной кучки (это единственное правило игры). Пропускать ход запрещено: обязательно нужно взять хотя бы один камень. Побеждает тот, кто возьмет последний камень.

Итак, пусть Акбар и Джефф[184], [185] играют в «Ним». Для простоты предположим, что у нас всего две кучки и в каждой по два камня. Акбар ходит первым. Что ему делать? Он мог бы взять два камня, полностью забрав одну из кучек. Но это плохая идея, потому что тогда Джефф заберет вторую кучу и выиграет. Поэтому Акбару нужно взять один камень из какой-то кучки. Но это не лучший вариант, потому что у Джеффа есть убийственный ход – взять один камень из другой кучки, после чего в обеих кучках остается по одному камню. Предвидя неизбежный конец, Акбар угрюмо берет один камень. Из какой кучки? Совершенно неважно, и Акбар это понимает. Джефф забирает последний камень и побеждает. Не имеет значения, какой первый ход сделает Акбар. Если Джефф не сделает ошибки, он победит.

А если у нас три кучки по два камня в каждой? А если по десять или по сто камней? Внезапно играть в уме становится существенно сложнее.

Поэтому давайте возьмем бумагу и карандаш и нарисуем ход игры, когда вы начинаете с двумя кучками по два камня. Вначале у Акбара есть два варианта: взять один камень или два. Вот небольшой набросок результатов его действий. Самый нижний рисунок – это стартовое положение в игре; делая ход, вы перемещаетесь по диаграмме вверх по одной из ветвей, отходящих от текущего положения.

Да, я слышу ваше замечание: строго говоря, у Акбара четыре варианта, поскольку он может взять один камень из первой кучки, один из второй, оба камня из первой кучки или оба из второй. Но здесь мы действуем в стиле Пуанкаре и «называем разные вещи одним именем». У «Нима» идеальная симметрия – как минимум на момент начала игры; какую бы кучку Акбар ни выбрал в первый раз, вы называете ее левой. Всё последующее рассуждение осталось бы прежним, если бы мы назвали эту кучку правой, – просто слова «левый» и «правый» повсюду меняются местами. Это тот самый момент в математике, когда мы любим говорить «без потери общности», и это всего лишь причудливый способ сказать: «Сейчас я сделаю предположение, но, если оно вам не нравится, сделайте противоположное предположение, и все останется как есть, за исключением того, что слова “левый” и “правый” повсюду поменяются местами». Если это вас действительно беспокоит, переверните книгу вверх ногами.

Теперь ход Джеффа. Его выбор зависит от хода Акбара. Если Акбар взял один камень, то слева остался один камень и два справа. Поэтому у Джеффа три варианта: забрать последний камень слева, взять один камень справа или два камня справа. Если же Акбар взял два камня, то есть оставил всего одну кучку, то у Джеффа всего два варианта: взять один камень или оба.

Вы не находите, что этот абзац чуточку трудноват для чтения? Мне было немного скучно его писать. Картинка лучше!

Мы можем продолжать рисовать таким образом, пока не изучим все возможные варианты развития игры. Это не займет много времени. В конце концов, игрок обязан за ход брать хотя бы один камень; поскольку изначально их было четыре, игра закончится максимум за четыре хода. Вот она целиком – игра «Ним» (две кучки по два камня) в геометрической форме.

Такую диаграмму математики называют деревом. Возможно, чтобы ботаническая метафора сработала, вам нужно слегка приглядеться. Самая нижняя точка, место начала игры, – это корень, из которого все растет. Восходящие пути называются ветвями. Некоторые люди любят называть точку, где ветвь заканчивается и больше не разветвляется, листом[186].

Это дерево изображает нашу игру, давая полную картину всех возможных в ней состояний и всех путей между ними. Картинка рассказывает историю. Вы делаете выбор, и он направляет вас по какой-то из ветвей. После этого вы останетесь на этой ветке и ее ответвлениях до конца. Назад дороги нет. Все, что вам остается, – выбирать дальше, проходить по все более мелким ветвям и приближаться к неизбежному концу по мере того, как возможность выбора иссякает.

По сути, я говорю, что ваша жизнь – это дерево.