Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ГУДИ, ГУДИ, МАШИНА

Итак, теперь мы полностью готовы приступить к теории событий Росса и Хадсон применительно к распространению пандемии. И начнем с придумывания некоторых чисел. (Настоящий эпидемиолог оценивал бы их как можно точнее. По мере распространения пандемии и расширения знаний о динамике болезни такая процедура все больше будет отличаться от «придумывания чисел».) Предположим, что в первый день наших попыток построить график распространения вируса заражено 10 000 человек из миллионного населения нашего штата, а оставшиеся 99 % населения по-прежнему восприимчивы к инфекции, то есть уязвимы. Таким образом:

уязвимы (день 1) = 990 000;

инфицированы (день 1) = 10 000.

Если я раз за разом буду набирать слова уязвимый и инфицированный, то они примелькаются и утратят свое значение, так что для краткости переключимся на буквы У и И: У(день 1) = 990 000, И(день 1) = 10 000.

Ежедневно заражаются новые люди. Допустим, каждый инфицированный в среднем кашляет на кого-то раз в пять дней, то есть получается 0,2 человека в день. Вероятность того, что тот, на кого кашлянули, восприимчив к инфекции, – это доля уязвимого населения штата, то есть У / 1 000 000. Поэтому ожидаемое количество новых инфекций составляет 0,2 × И × У / 1 000 000.

Каждое новое заражение уменьшает количество уязвимых людей:

У(завтра) = У(сегодня) – 0,2 × И(сегодня) × У(сегодня) / 1 000 000

и увеличивает число инфицированных:

И(завтра) = И(сегодня) + 0,2 × И(сегодня) × У(сегодня) / 1 000 000.

Однако мы еще не закончили, потому что – к счастью! – люди поправляются. Надо придумать еще одно число. Предположим, период заразности длится 10 дней, так что в любой день каждый десятый из зараженных выздоравливает. (Это означает, что каждый инфицированный человек за 10 дней заразит примерно двух человек; таким образом, R0 = 2). Тогда в действительности мы имеем:

И(завтра) = И(сегодня) + 0,2 × И(сегодня) × У(сегодня) / 1 000 000 – 0,1 × И(сегодня).

Такого рода соотношение называют разностным уравнением, поскольку оно сообщает нам разницу между ситуацией сегодня и завтра. Возможность вычислять эту разницу каждый день позволяет прогнозировать пандемию настолько далеко вперед, насколько мы посчитаем нужным. Вы должны представить этот кусок алгебры в виде какой-то машины, в идеале – со множеством мигающих лампочек и ревущим звуком. Вы помещаете сегодняшнюю ситуацию в машину, она ее прокручивает – и вы получаете ситуацию на завтра. Затем вы берете ее, снова запихиваете в машину, и она выдает ситуацию на послезавтра и так далее.

На второй день число новых инфицированных равно:

0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 = 0,2 × 10 000 × 990 000 / 1 000 000 = 1980,

и поэтому

У(день 2) = У(день 1) – 0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 = 990 000 – 1980 = 988 020.

На второй день появилось 1980 новых зараженных, но при этом выздоровела десятая часть из тех, кто заражен в данный момент.

И(день 2) = И(день 1) + 0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 – 0,1 × И(день 1) = 10 000 + 1980–1000 = 10 980.

Теперь мы знаем ситуацию на день 2; помещаем ее в машину и получаем прогноз на день 3.

У(день 3) = У(день 2) – 0,2 × И(день 2) × У(день 2) / 1 000 000 = 988 020 – 2169,69192 = 985 850,30808.

И(день 3) = И(день 2) + 0,2 × И(день 2) × У(день 2) / 1 000 000 – 0,1 × И(день 2) = 10 980 + 2169,69192 – 1098 = 12 051,69192.

Эти 69,192 % человека – хорошее напоминание о том, что мы имеем дело всего лишь с вероятностным прогнозом, наилучшим предположением, и не должны ожидать его правильности с точностью до последнего знака!

Вы можете продолжать эту процедуру сколько угодно. Число инфицированных людей день ото дня (округленно, потому что незачем тратить время на столько десятичных знаков) составит:

10 000, 10 980, 12 052, 13 223, 14 501…

Вы можете проверить, что это очень близко к геометрической прогрессии с ежедневным увеличением на 10 %. Но это не точная геометрическая прогрессия: темпы роста чуть-чуть ниже. Число 10 980 на 9,8 % больше, чем 10 000, однако 14 501 только на 9,7 % больше, чем 13 223. Это не ошибка округления, а эффект сокращения доли уязвимого населения, из-за чего у вируса уменьшаются возможности для распространения.

Вряд ли вас вдохновят целые страницы, исписанные числами У(день тот) и И(день этот); мне так точно не хочется их набирать. Именно для таких громоздких вычислений и предназначены компьютеры. С помощью нескольких строк кода вы получите прогноз на какое угодно количество дней. Я, например, получил такую картину:

Пик заражения приходится на 45-й день, когда инфицировано чуть более 16 % населения. В этот момент примерно 34 % населения уже выздоровело[399], а около половины все еще уязвимо. Таким образом, показатель R0, который вначале был равен 2, уменьшился наполовину и теперь равен 1 – как раз тому пороговому значению, при котором заражение начинает снижаться. Хотя на приведенном графике это не совсем четко отражено, спад в таких моделях обычно не настолько крутой, как подъем: потребовалось 45 дней, чтобы добраться с 1 % инфицированных до пика, и 60 дней, чтобы спуститься с пика обратно до уровня в 1 % зараженных.

Сегодня ученые традиционно приписывают эту модель не Россу и Хадсон, а Кермаку и Маккендрику. Андерсон Маккендрик (адресат письма Росса об открытии двери в новую науку об эпидемиях) был, как и Росс, шотландским врачом со склонностью к математике; он работал с Россом в Сьерра-Леоне. Уильям Огилви Кермак – еще один врач шотландского происхождения, ослепший во время несчастного случая в лаборатории от едкой щелочи, – подобно Хадсон, обладал колоссальной геометрической интуицией.

Кермак никуда не ходил без своей тяжелой деревянной трости, постукивание которой было известно всем в лаборатории Королевского колледжа врачей в Эдинбурге, хотя иногда, когда ему было нужно, «он также имел привычку[400] вешать трость на руку и появляться под руку с кем-нибудь из помощников – бесшумно и неожиданно, иногда доставляя неудобство». В своей статье 1927 года Кермак и Маккендрик ссылаются на предыдущие труды Росса и Хадсон, но их работа, помимо добавления новых идей, была написана проще, с более понятными обозначениями, и казалась более удобной для использования. Их система сегодня известна как SIR-модель, где Susceptible – здоровые восприимчивые (уязвимые) к инфекции люди (они обозначены буквой У); Infected – инфицированные (зараженные, они обозначены буквой И); Recovered – выздоровевшие люди, у которых на данный момент выработался иммунитет. В более сложных моделях используются и другие группы людей, и количество букв в названиях моделей, соответственно, увеличивается.

Как и надеялся Росс, математическая основа, которую он помог создать для изучения распространения болезней, оказалась полезной для понимания и других видов событий. Сегодня мы используем SIR-модели для многих заразных вещей, например твитов. В марте 2011 года землетрясение в регионе Тохоку и последовавшее за ним цунами разрушили атомную электростанцию «Фукусима» и унесли жизни тысяч людей в северо-восточной Японии. Запаниковавшие люди делились информацией в Twitter, причем не всегда здравой. Ходили слухи, что соприкосновение с дождем опасно. Широко разошелся твит: «Для предотвращения побочных эффектов от радиоактивности полезно пить жидкость для полоскания рта, содержащую йод, и есть как можно больше морских водорослей». Эти слухи, даже если они исходили от людей с небольшим количеством подписчиков, распространялись очень быстро, как и поправки от научных авторитетов.

Слухи весьма похожи на коронавирус. Вы не можете их передать, если предварительно не подверглись их воздействию и в какой-то степени не выработали иммунитет. Если вы уже познакомились со слухом и передали его, то последующие ваши встречи с ним вряд ли запустят новый виток распространения. Поэтому вполне логично, что исследователи в Токио обнаружили, что SIR-модель[401] весьма неплохо справляется с моделированием распространения твитов со слухами о землетрясении. Вы можете считать параметром R0 для слуха среднее число людей, которые им делятся дальше. Если слух не особо интересен, то показатель R0 невелик, как у гриппа; если же он реально захватывающий, то ситуация становится больше похожа на корь. Последний вид слухов мы называем вирусным, хотя на самом деле все слухи вирусные! Просто одни вирусы заразнее других.