Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ЧТЕНИЕ МЫСЛЕЙ НА РАССТОЯНИИ

В номере от 15 мая 1916 года журнал для фокусников The Sphinx опубликовал такое объявление:

ЧТЕНИЕ МЫСЛЕЙ НА РАССТОЯНИИ. Вы отправляете по почте какому-нибудь лицу обыкновенную колоду карт, просите его перетасовать их пролистыванием и выбрать одну карту. Затем он возвращает выбранную карту на любое место в колоде и присылает вам только ПОЛОВИНУ колоды, не сообщая, есть ли в ней искомая карта. В ответном письме вы называете карту, которую он выбрал. Цена 2,5 доллара.

ПРИМЕЧАНИЕ. При получении 50 центов я устрою реальную демонстрацию. Тогда, если вы захотите узнать секрет, останется заплатить 2 доллара.

Это объявление разместил Чарльз Джордан, куровод из Петалумы, который в качестве хобби собирал гигантские радиоприемники, а также подрабатывал, выигрывая конкурсы головоломок в газетах. (Он был так хорош[543], что газеты запрещали ему участвовать. Тогда он сколотил группу из нескольких человек, и те отдавали его ответы в обмен на часть прибыли; однажды его схема едва не провалилась, когда одного из его партнеров пригласили в редакцию для проведения тай-брейка[544].) Джордан был также плодовитым изобретателем карточных фокусов. Несмотря на отсутствие математического образования в том смысле, как мы это понимаем, он был пионером в применении математики в фокусах.

Я собираюсь научить вас тому, как читать мысли по почте. Да, я знаю, что фокусник никогда не раскрывает секреты трюков. Но я ведь не фокусник, а преподаватель математики. И секрет трюка Джордана кроется в геометрии тасования карт.

О геометрии тасования карт я узнал от Перси Диакониса, у которого писал дипломную работу. У многих профессиональных математиков довольно предсказуемый путь в науку. Но не у Диакониса – сына мандолиниста и учительницы музыки, сбежавшего из дома в 14 лет, чтобы стать фокусником в Нью-Йорке, затем поступившего в Городской колледж Нью-Йорка, чтобы изучать теорию вероятностей, потому что коллега сказал ему, что это улучшит его карточные навыки. Он встретил Мартина Гарднера, энтузиаста математики и фокусов[545], и тот написал для него рекомендательное письмо, включавшее такие слова: «Я не особо разбираюсь в математике, но этот парень изобрел два лучших карточных фокуса за последние десять лет. Вам следует дать ему шанс». В некоторых местах (например, таких как Принстон) это впечатления не произвело, но в Гарварде работал Фред Мостселлер – не только статистик, но и фокусник-любитель, и Диаконис стал его учеником. Когда я поступил в Гарвард, Перси был там уже профессором.

Вводные математические курсы для аспирантов не имеют в Гарварде определенного учебного плана: профессорам разрешается читать любой материал, который они сочтут подходящим. В осеннем семестре моего первого года обучения алгебру преподавал Барри Мазур, мой будущий научный руководитель, и курс был посвящен его (а позже и моей) области – алгебраической теории чисел. Весной у нас преподавал Диаконис, и целый семестр мы занимались тасованием карт.

Геометрия тасования карт во многом похожа на геометрию кинозвезд и математиков – только она гораздо, гораздо масштабнее. Точки этого пространства – способы, которыми можно упорядочить 52 карты. Сколько существует таких способов? Первую карту из колоды можно выбрать 52 способами. Следующей картой может быть любая из оставшихся в колоде, то есть ее можно выбрать 51 способом. Поэтому всего получается 52 × 51 = 2652 способа выбрать две карты. Третья карта выбирается 50 способами, что дает нам для первых трех карт 52 × 51 × 50 = 132 600 способов. Продолжая в том же духе, мы получим, что количество способов упорядочить 52 карты равно произведению всех чисел от 52 до 1. Это число обычно обозначается 52![546] и читается как «52 факториал», хотя в XIX веке его предлагали назвать «52 восхищение» – в соответствии с типографским знаком. Факториал числа 52 – это 67-значное число, и я не собираюсь загружать вас его точным значением. Но поверьте, оно определенно намного больше, чем число математиков или кинозвезд.

(Конечно, эта геометрия в каком-то наивном смысле меньше, чем геометрия скромного отрезка прямой, где бесконечно много точек!)

Чтобы получить какую-то геометрию, нам нужно понятие расстояния. Вот тут на сцену и выходит тасование. Под ним понимается тасование пролистыванием: вы делите колоду на две части, затем составляете новую стопку, выбирая по одной карте из каждой части слева или справа (необязательно строго чередовать обе стопки). Когда все карты будут выложены, появится новая перетасованная стопка. Обычно это выполняется с помощью приема «ласточкин хвост», когда вы сводите две стопки так, чтобы уголки слегка загибались кверху, а затем отпускаете, и карты начинают чередоваться с успокаивающим звуком «фр-р-р-р-р-р-р». Существуют и другие способы тасовать карты: например, если в одной из двух стопок всего одна карта, то вы можете вставить ее в любое место другой стопки. Это тоже будет пролистывание, хотя, вероятно, в реальной жизни вы так не делаете. Будем говорить, что один порядок карт связан со вторым, если от первого ко второму можно перейти с помощью тасования пролистыванием. Соответственно, расстояние между двумя порядками карт – это количество тасований, которые придется сделать, чтобы добраться от одного порядка до другого.

Существует около четырех с половиной квадриллионов различных тасований пролистыванием. Это много, но все равно не сравнимо с факториалом числа 52. Поэтому новая колода, вынутая из коробки и перетасованная таким способом один раз, не может дать совершенно произвольный порядок: это может быть только порядок, находящийся на расстоянии 1 от фабричного. В геометрии есть название для множества точек, которые находятся на расстоянии не более 1 от данной точки: мы называем это множество шар[547].

Малый размер шара – это ключ к умению читать мысли по почте. Суть трюка в следующем. Я отправляю вам колоду карт. Вы ее тасуете, делите перетасованную колоду на две стопки, выбираете любую карту из одной стопки, запоминаете ее и вставляете в другую стопку. Теперь возьмите любую из стопок, бросьте на пол, соберите снова, вложите в любом порядке в конверт и отправьте обратно мне. Я дистанционно проникну в ваш разум и вытащу из него ту карту, которую вы выбрали.

Как?

Для простоты изложения предположим, что мы проделываем этот фокус только с бубновой мастью. Вот как тасование выглядит на странице. Вы начинаете с карт в следующем порядке:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т.

Делите карты на две стопки, необязательно одного размера:

2, 3, 4, 5, 6

7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т

и выполняете тасование пролистыванием: – фр-р-р-р-р-р-р:

2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 5, В, 6, Д, К, Т.

Карты перетасованы, но, если присмотреться, можно заметить, что они сохраняют определенную память об исходном порядке. Все начинается с 2, затем прыжок к следующей по старшинству карте 3, затем прыжок к 4 и так далее – пока вам не придется вернуться к следующей по старшинству карте: это произойдет, когда вы доберетесь до 6 бубен. Я выделил жирным шрифтом карты, где вы приземляетесь при первом проходе:

2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 5, В, 6, Д, К, Т.

Теперь вернитесь к первой еще не использованной карте – семерке – и повторите процесс. На этот раз вы охватите все оставшиеся карты. Две эти последовательности карт и есть те две стопки, которые мы смешали вместе тасованием. Неважно, как оно происходило, – колода всегда делится на две подобные возрастающие последовательности.

Теперь предположим, что вы снова делите надвое получившуюся колоду:

2, 3, 7, 4, 8, 9

10, 5, В, 6, Д, К, Т,

перекладываете какую-то карту (например, даму) из одной части в другую:

2, 3, 7, Д, 4, 8, 9

10, 5, В, 6, К, Т

и посылаете одну из стопок по почте мне, умеющему читать мысли.

Вот как работает этот фокус. Когда я получаю карты по почте, я раскладываю их в отдельные последовательности идущих по порядку карт. Если бы вы не переложили карту из одной стопки в другую, то последовательностей было бы две, но поскольку вы переложили одну карту, то их, вероятно, будет три. Если одна из последовательностей состоит из одной карты, то именно ее вы и перекладывали. Если нет, но есть недостающая карта, наличие которой могло бы склеить две последовательности, то перекладывали ее (но она осталась в другой стопке). Давайте посмотрим, как это выглядит в нашем случае. Если вы отправили мне по почте первую стопку, я раскладываю карты в возрастающем порядке:

2, 3, 4, 7, 8, 9, Д

и замечаю, что здесь есть два ряда последовательных карт (2, 3, 4 и 7, 8, 9) и одна карта отдельно. Именно она и есть перемещенная карта – дама.

А если вы отправили мне вторую стопку? Я упорядочиваю карты и получаю:

5, 6, 10, В, К, Т.

Если попробовать разбить их на ряды последовательных карт, то получится три пары. Однако можно заметить, что если бы у вас была еще одна карта, которая отделяет ряд 10, В от ряда К, Т, то вышло бы всего два ряда. Эта недостающая карта – дама.

К сожалению, этот трюк срабатывает не всегда. Что, если вы переложите 10 из второй стопки в первую и пришлете мне первую стопку? Тогда я получу 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10 и разделю их на две возрастающие последовательности: 2, 3, 4 и 7, 8, 9, 10. И в результате не буду иметь ни малейшего понятия, какую карту перекладывали. Когда карт всего тринадцать, такое происходит часто. Но с полной колодой из 52 карт фокус работает почти всегда.

Разумеется, Джордан не отправлял людям колоду в фабричном порядке: в этом случае секрет трюка был бы очевиден. Если вы соберетесь его проделывать, то и вам не следует так поступать. Вам нужно знать, в каком порядке изначально располагалась колода, поэтому выберите его так, чтобы вы могли легко его запомнить. Когда получите обратно половину колоды, расположите ее строго в соответствии с выбранным вами порядком, и переложенная карта сразу же бросится вам в глаза.

Этот трюк возможен потому, что колода, перетасованная перелистыванием, не организована в случайном порядке. Точнее, если пользоваться правильной математической терминологией, это не равномерный случайный порядок: так выражают идею, что не все порядки карт в колоде одинаково вероятны. Математики используют слово «случайный» в более широком смысле: если монета несимметрична и орел выпадает с вероятностью 2/3, то результат ее подбрасывания все равно случаен. Однако равномерности уже не будет, поскольку один из двух результатов подбрасывания более вероятен, чем другой. Даже если на монете два орла, результат подбрасывания в понимании математиков все равно будет случайным! Просто в таком случайном событии один из исходов (орел) будет наблюдаться в 100 % случаев. Вы можете настаивать, что это уже точно не случайность, поскольку результат вообще не зависит от случая. Однако для меня это все равно что сказать: ноль не является числом, потому что он выражает не количество, а его отсутствие. (Даже сейчас эта плохая идея сохраняется в термине «натуральные числа», обозначающем целые числа, начинающиеся с 1. Ненавижу этот термин: нет ничего более натурального, чем 0. Существует множество вещей, которых нет!)

Чем чаще вы перетасовываете колоду, тем более равномерно случайной она становится. Это кажется естественным (и было бы крайне неприятно для всех дилеров блек-джека, если бы дела обстояли иначе), однако доказать это непросто. Одно из первых объяснений[548] можно найти в книге старого доброго Пуанкаре, который отвлекся от геометрии ради статьи по вероятности. Используемая в ней математика во многом та же, что и в основе гугловского PageRank, – закон долгих блужданий. Когда вы наугад блуждаете по пространству всевозможных порядков карт в колоде, память об исходной точке начинает постепенно стираться. Вы могли начать где угодно. Отличие PageRank от карт в том, что одни веб-страницы популярнее других, так что человек, бродящий по интернету, будет проводить на них больше времени, увеличивая их параметр PageRank. В колоде все упорядочения карт одинаково хороши, и если перетасовывать их достаточно долго, то шансы получить тот или иной порядок равны.