Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ПОВТОРНЫЙ ВИЗИТ В ДАКОТЫ

Что, если мы подправим нашу модель и сделаем северодакотцев немного опаснее? Скажем, каждый инфицированный житель Северной Дакоты будет заражать не одного, а двух человек из своего штата. Если мы начнем, как и ранее, с одного инфицированного в Северной Дакоте и нуля в Южной, то есть:

(1 СД, 0 ЮД),

то в следующем поколении получится два новых инфицированных северодакотца и один новый зараженный южнодакотец:

(2 СД, 1 ЮД).

Затем эти два северодакотца заразят еще четверых жителей Северной Дакоты и двух – Южной, в то время как единственный зараженный южнодакотец заразит одного нового северодакотца:

(5 СД, 2 ЮД).

Теперь число зараженных в Северной Дакоте образует последовательность

1, 2, 5, 12, 29…

в которой каждое число – это сумма удвоенного предыдущего и предпредыдущего. У нее тоже есть название – последовательность чисел Пелля. Это не геометрическая прогрессия, но, как и последовательность Фибоначчи, тоже к ней стремится. Отношение между последовательными членами равно:

2/1 = 2;

5/2 = 2,5;

12/5 = 2,4;

29/12 = 2,416666…

Продвиньтесь в ней подальше, и найдете число 33 461, за которым следует 80 782; отношение этих величин равно 2,4142…, то есть почти точно 1 + √2. И чем дальше вы заберетесь в эту последовательность, тем ближе отношения будут к этой управляющей константе.

Мы бы наблюдали то же самое, если бы каждый житель Северной Дакоты заражал трех жителей своего штата; тогда магическое отношение было бы (3 + √13) / 2, то есть чуть больше 3,3. Или можем расширить нашу исходную модель, добавив в нее штат Небраска[469] и предположив, что каждый житель Небраски заражает одного южнодакотца, каждый южнодакотец – одного небрасканца, а друг друга жители Небраски не инфицируют. Это сложное взаимодействие между тремя штатами дает такую последовательность для числа больных в Северной Дакоте:

1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 33…

У нее нет собственного названия[470], но ее свойства похожи на описанные выше; последовательные отношения ее членов постепенно приближаются к числу 1,7548…, которое, если уж вы настаиваете на точном выражении, равняется:

Подобные закономерности (а не конкретно золотое сечение) будут базовым принципом повсюду. Неважно, сколько штатов вы включите, сколько именно жителей Юты заразит в среднем житель Вайоминга и т. д., – количество инфекций в каждом штате будет стремиться к какой-то геометрической прогрессии[471]. Платон был прав: природа действительно в каком-то смысле к ней благоволит.

Это до странности сложное число, управляющее скоростью геометрического роста, называется собственным значением. Золотое сечение – всего лишь один из вариантов; его приятные свойства проистекают из того факта, что оно – собственное значение очень простой системы. У других систем – другие собственные значения; на самом деле в большинстве систем их больше одного. В самом первом сценарии для Дакот эпидемия состояла из двух разных вспышек: в обоих случаях рост был геометрическим, только в первом еженедельно происходило утроение числа больных, а во втором – удвоение. Со временем начала доминировать более мощная вспышка: суммарное число заболеваний стало примерно геометрической прогрессией со знаменателем 3. В такой ситуации у вас есть два собственных значения – 2 и 3, причем важно наибольшее из них.

В системах, где разные части взаимодействуют между собой, не так просто понять, как разделить процесс на отдельные идеальные геометрические прогрессии. Но вы сможете! Например, вот геометрическая прогрессия, которая начинается с числа, примерно равного 0,7236… а каждый последующий ее член в φ раз больше предыдущего:

0,7236… 1,1708… 1,8944… 3,0652… 4,9596…

А вот еще одна, которая начинается с 0,2764… и имеет отрицательный знаменатель – 0,618… (на самом деле это просто число 1 – φ). У этой последовательности наблюдается экспоненциальное убывание к нулю, а не экспоненциальный рост, как у эпидемий с маленьким показателем R0. (Ну, возможно, не совсем так, поскольку у нас каждое второе число получается отрицательным.)

0,2764… –0,1708… 0,1056… –0,0652… 0,0403…

Сложите эти два геометрических ряда – и произойдет нечто замечательное: хвосты после десятичных точек исчезнут, а вы получите в точности последовательность Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5…

Другими словами, последовательность Фибоначчи – это не геометрическая прогрессия, а сумма двух геометрических прогрессий, одна из которых определяется золотым сечением φ, а другая – числом 1 – φ = –0,618… Это два собственных значения. В долгосрочной перспективе реальное значение имеет только большее из них.

Но откуда взялись эти два числа? Это не какое-то северное и южное собственное значение; каждое из чисел 1,618… и – 0,618… отражает нечто глубокое и глобальное в поведении системы. Это не свойство отдельных частей системы, а результат взаимодействия между ее частями. Алгебраист Джеймс Джозеф Сильвестр (о котором мы скоро расскажем) назвал эти числа скрытыми корнями. Как он ярко объяснял, «скрытыми в том смысле[472], в каком можно сказать, что пар скрыт в воде или дым в табачном листе». К сожалению, англоговорящие математики предпочли наполовину перевести предложенное Давидом Гильбертом слово Eigenwert, означающее по-немецки «собственная стоимость или значение»[473], [474].

Мы не обязаны разделять пандемию по географическому признаку и можем использовать любые категории. Например, разделим дакотцев не на северных и южных, а на две (или пять, или десять) возрастные группы, отслеживая во всех случаях степень взаимодействия внутри каждой группы и между группами. В ситуации с десятью группами получается довольно много информации; чтобы упорядочить ее, вы можете взять таблицу 10 × 10 и, например, на пересечении третьей строки и седьмого столбца вписать число близких личных контактов между участниками третьей и седьмой возрастных групп. (Это может быть несколько избыточно, поскольку то же самое число вы поставите на пересечении седьмой строки и третьего столбца; однако если вы считаете, что молодые передают инфекцию пожилым с большей вероятностью (или наоборот), то вполне можете использовать для этих клеток разные числа.) Такую таблицу чисел Сильвестр назвал матрицей, и название прижилось. Вычисление собственного значения матрицы – скрытого числа, которое определяет рост системы, состоящей из многих частей и описываемых такой таблицей чисел, – математики стали считать одним из фундаментальных. Большинство математиков вычисляют собственные значения ежедневно.

Собственные значения могут дать вам гораздо более точную картину развития пандемии и ее предполагаемого будущего, нежели базовые модели, обсуждавшиеся ранее. В частности, если некоторые подгруппы населения заражаются и передают вирус с гораздо большей вероятностью по сравнению с другими, то первоначальное высокое значение показателя R0 не обязательно означает пандемию, которая распространится на большую часть популяции. Возможно, начальные высокие показатели обусловлены большим количеством заболевших в самой восприимчивой подгруппе населения, а как только вирус охватит всю эту небольшую часть населения (и она, возможно, временно приобретет иммунитет), в оставшейся части его передача замедлится настолько, что ее не хватит для поддержания роста пандемии. Вы можете создать подобные модели[475], где пандемия останавливается после заражения очень небольшой части людей, всего 10 или 20 %, даже при высоком значении R0. Чтобы узнать эти количества, придется вычислять собственные значения для различных подгрупп, но вы можете уловить основную идею, представив себе простой пример. Допустим, для вируса уязвимы всего 10 % популяции (а 90 % имеют иммунитет), но каждый из инфицированных во время периода заразности может в среднем заразить двадцать человек. Однако рост инфекции будет соответствовать показателю R0 = 2, а не R0 = 20, потому что каждый больной человек хотя и встретится с двадцатью людьми, заразит только двоих, наиболее уязвимых. Когда же среди 10 % населения заразятся практически все, у вируса закончатся потенциально восприимчивые жертвы.

Как мы уже знаем, геометрические прогрессии не описывают всей истории. Показатель R0 во время эпидемии может меняться в результате действий правительства или отдельных лиц. Кроме того, есть подъем и спад, которые предсказывает модель Росса – Хадсон и Кермака – Маккендрика, когда вирус охватывает популяцию, приходит к точке коллективного иммунитета и медленно болезненно исчезает. Вы можете провести такой анализ для популяции, разделенной на пространственные или демографические подгруппы, и тогда изучите не столько одну эпидемию, сколько целый набор, где каждая влияет на другие. В итоге, когда вы сложите все результаты, получится нечто, выглядящее смутно реалистичным: вспышки и затишья в разных популяциях в различное время.

При этом, чтобы ваше моделирование оказалось правильным, оно должно быть стохастичным. Это означает, например, что вы не просто присваиваете каждому человеку его персональное точное значение R0 – как если бы вы на этой неделе определенно заразили шесть своих сверстников и одного пожилого человека, – а считаете этот параметр случайной величиной. И если она меняется не очень существенно, то это, возможно, не будет иметь значения: половина инфицированных заразят одного человека, половина – двух, и вы не много потеряете, если положите, что число инфекций на следующей неделе будет в полтора раза больше, чем на этой, и построите модель с параметром R0 = 1,5. Но что, если 90 % не заражают никого, 9 % заражают по десять человек, а 1 % – по шестьдесят? Это по-прежнему дает в среднем 1,5 новые инфекции на человека, но динамика эпидемии будет другой. Возможно, эта небольшая доля людей сверхзаразна по какой-то биологической причине, а может, они предпочитают посещать многолюдные мероприятия в помещении; неважно – математика будет одинаковой. Такие сверхраспространения – масштабные события, но при этом они редки. В любом конкретном регионе какое-то время может не наблюдаться ни одного такого события, болезнь какое-то время потихоньку будет протекать, но если извне и проникает инфекция, то взрыва не происходит. Но вдруг подряд случаются несколько крупных событий со сверхраспространением, и внезапно происходит локальный всплеск заболевания. Однако вы не уверены в причинах. Если в двух разных местах болезнь протекает по-разному, то, возможно, потому, что в одном из них проводилась соответствующая политика. Но это может быть и просто стохастичность. Чем выше степень доминирования сверхраспространения над инфекцией, тем сильнее влияние глупой случайности в распределении болезни.

Это не означает, что местные органы здравоохранения должны опустить руки, отказаться от действий и молиться, чтобы судьба оказалась к ним благосклонной. Знание, что причина эпидемии – сверхраспространение, может быть полезным. Вы можете подавить передачу, подавляя сверхраспространение. Никаких многолюдных свадеб в помещениях, никаких баров, никакого хорового пения – и, возможно, вам удастся обойтись более мягкими ограничениями в отношении остальных форм контактов между людьми.