Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

СВОБОДА ВОЛИ ПРОТИВ НЕИСТОВОГО АНДРЕЯ

Тем временем в России яростно враждовали две математические группы из-за разногласий в отношении связей между вероятностью, свободой воли и Богом. Московской школой руководил Павел Алексеевич Некрасов, который, прежде чем заняться математикой, получил образование в духовной семинарии. Некрасов был архиконсерватором, убежденным христианином вплоть до мистицизма и, по мнению некоторых, участником ультранационалистического черносотенного движения. Он был во всех отношениях человеком царизма. Один источник отмечал, что Некрасов резко противится[148] всем политическим изменениям, где участвуют народные массы, и считает частную собственность главным принципом, который обязан защищать царский режим. Консервативные убеждения сделали его популярным у политиков антиреволюционного толка, которые хотели сдерживать студенческий радикализм, и Некрасов неуклонно поднимался по административной лестнице, став сначала ректором[149] Московского университета, а затем попечителем Московского учебного округа.

Его противником был Андрей Андреевич Марков из санкт-петербургской математической школы, атеист и ярый враг православной церкви[150]. Он написал в газеты много резких писем по социальным проблемам и получил прозвище Неистовый Андрей[151]. В знак протеста[152] против решения Синода об отлучении Льва Толстого Марков потребовал в 1912 году, чтобы Святейший правительствующий синод Русской православной церкви отлучил и его (хотя это желание было удовлетворено, церковь не стала предавать академика анафеме – самой суровой мере).

Некрасов, как можно догадаться, после революции впал в немилость; он выжил, но его роль математического авторитета была утеряна; он, как говорили, казался странной тенью прошлого[153]. После его смерти в 1924 году «Известия» опубликовали умеренно лестный некролог, где хвалили Некрасова за решительное стремление[154] понять марксизм – последнее оскорбление покойного.

Удивительно, но судьба Маркова сложилась не лучше. При царизме Некрасов обвинял его в симпатиях к марксизму, однако Марков пользовался коммунистической идеологией не больше Священного синода; его неистовый дух обнаружил новую цель. В 1921 году, за год до своей смерти, Марков сообщил в Академию наук, что не может посещать ее заседания из-за отсутствия обуви. Полученную от государства обувь Марков счел настолько плохой, что потребовалось его последнее гневное публичное заявление:

Наконец я получил обувь[155]; но она не только дурно сшита, но и совершенно не подходит по своим размерам. Таким образом, я по-прежнему лишен возможности правильно посещать заседания Академии. Полученную мною обувь я предлагаю поместить в Этнографическом музее как образец материальной культуры текущего момента, ради чего я готов ее пожертвовать[156].

Разногласия между Марковым и Некрасовым можно было разрешить полюбовно, если бы они не перешли от религиозных и политических тем к более серьезному предмету – математике. И Марков, и Некрасов интересовались вероятностью, в частности так называемым законом больших чисел, – той теоремой, которую демонстрировал на лекции Карл Пирсон, бросив на пол десять тысяч пенсов. Исходная версия теоремы, доказанная Якобом Бернулли за двести лет до Маркова, утверждает примерно следующее: если подбросить монету достаточно большое количество раз, доля орлов будет близка к 50 %. Конечно, нет никакого физического закона, который заставляет монету падать именно так, и она может выпасть одной стороной столько раз, сколько вы захотите. Однако это крайне маловероятно, и с увеличением числа подбрасываний монеты становится все более неправдоподобной любая фиксированная процентная доля, отличная от 50 %, будь то 60, 51 или 50,00001 % орлов. Человеческое существование подчиняется тем же законам, что и подбрасывание монеты. Статистика поведения и действий людей[157], например частота различных преступлений или возраст первого вступления в брак, также демонстрирует тенденцию концентрироваться около определенных средних значений[158], как если бы люди в совокупности были просто кучей бессмысленных монет.

В течение двух столетий после Бернулли многие математики, включая учителя Маркова Пафнутия Львовича Чебышева, совершенствовали закон больших чисел, распространяя его на все новые и новые случаи. Однако все результаты требовали предположения о независимости: одно подбрасывание монеты не должно зависеть от другого.

Пример с выборами 2016 года показывает, почему это условие важно. В каждом штате разницу между оценкой по опросу и реальным голосованием можно рассматривать как случайную величину (ошибку прогноза). Если бы все эти ошибки были независимы друг от друга, то вероятность того, что все они будут в пользу одного кандидата, была бы крайне мала; гораздо вероятнее, что некоторые будут в одну сторону, некоторые в другую, и в среднем получится величина, близкая к нулю, то есть наша общая оценка будет недалека от истины. Но если ошибки зависимы, как часто бывает в реальной жизни, то наше предположение неверно, и тогда наш избирательный аппарат системно недооценивает одного кандидата – в Висконсине, Аризоне и Северной Каролине.

Некрасова беспокоила наблюдаемая статистическая закономерность человеческого поведения. Для него идея, что люди в своей основе предсказуемы и могут выбирать собственный путь во Вселенной не больше чем комета или астероид, была несовместима с церковной доктриной и потому неприемлемой. Он увидел выход в теореме Бернулли. Закон больших чисел гласил, что средние значения ведут себя предсказуемо, когда отдельные переменные независимы. Некрасов сделал вывод, что закономерности, которые мы видим в природе, не означают, что все мы – просто детерминистские частицы, двигающиеся по пути, предначертанному природой, а говорят о том, что все мы независимы друг от друга и способны делать собственный выбор. Иными словами, эта теорема – математическое доказательство свободы воли. Он изложил свою теорию в нескольких сумбурных статьях объемом в сотни страниц, опубликованных в журнале своего учителя, близкого ему по националистическим взглядам, Николая Васильевича Бугаева; итогом этих усилий стала увесистая книга, вышедшая в 1902 году.

Для Маркова это было мистической ерундой. Хуже того, эта мистическая ерунда рядилась в математические одежды. Марков жаловался одному из коллег, что труд Некрасова злоупотреблял математикой. Он не мог исправить то, что считал метафизическими ошибками Некрасова, но с математикой он разобраться мог.

На мой взгляд, нет ничего более интеллектуально бесплодного, чем словесная перепалка между истинно верующими и сторонниками атеизма. Однако на этот раз борьба привела к серьезному математическому прогрессу, и ее отголоски чувствуются до сих пор. Марков сразу увидел, что ошибка Некрасова – в прочтении теоремы задом наперед. Бернулли и Чебышев утверждали, что средние сходятся, когда рассматриваемые переменные независимы. Отсюда Некрасов заключил, что переменные независимы всякий раз, когда средние сходятся. Однако этот вывод неверен! Каждый раз, когда я ем гуляш, у меня появляется изжога, но это не означает, что каждый раз, когда у меня изжога, я ел гуляш.

Чтобы реально победить соперника, Маркову требовалось придумать контрпример: найти последовательность случайных величин, поведение средних у которых было бы полностью предсказуемым, но которые не были бы независимыми. В результате он изобрел то, что сейчас называют цепями Маркова. В основу легла та же идея Росса для моделирования перемещений комара, которую Башелье применил к фондовому рынку, а Эйнштейн – для объяснения броуновского движения. Первая работа Маркова на эту тему появилась в 1906 году; ему было пятьдесят лет, годом ранее он ушел с должности, так что это было отличное время, чтобы по-настоящему погрузиться в интеллектуальную дискуссию.

Марков рассмотрел комара[159], ведущего весьма стесненный образ жизни: он может летать всего в два места, назовем их Болото 0 и Болото 1. Где бы ни находился комар, он предпочитает оставаться, если может напиться достаточно крови. Предположим, что в любой день, когда комар находится в Болоте 0, он с вероятностью 90 % останется в нем же и на следующий день и с вероятностью 10 % перелетит в Болото 1, чтобы узнать, не лучше ли там ситуация с питанием. Болото 1 представляет собой несколько менее перспективные охотничьи угодья, так что здесь комар остается с вероятностью 80 % и перелетит в Болото 0 с вероятностью 20 %. Мы можем изобразить эту ситуацию на диаграмме.

Мы внимательно следим за перемещением комара, отмечая, где он проводит каждый день. Вероятнее всего, у вас будут длинные последовательности нулей (Болото 0) и единиц (Болото 1), потому что перелетать из болота в болото менее вероятно, чем в нем оставаться. Цепочка может выглядеть примерно так:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…

Марков доказал следующий факт: если долго наблюдать за комаром, то средняя доля времени, которую он провел в Болоте 1, будет стремиться к фиксированной вероятности – так же, как сходилась к 50 % доля орлов при подбрасывании монеты. Вы можете подумать, что комар, летая наугад, окажется в каждом болоте с равными шансами. Нет! Та асимметрия, которую мы заложили в условия, сохранится. В нашем случае среднее будет сходиться к числу 2/3. То есть комар 2/3 жизни проведет в Болоте 0 и только 1/3 – в Болоте 1.

Я не утверждаю, что это очевидно, но постараюсь вас убедить, что это хотя бы разумно. В любой день в Болоте 0 шансы комара улететь из него составляют 1/10, поэтому вы можете ожидать, что типичное время пребывания комара в Болоте 0 равно 10 дням. По тем же причинам типичное время пребывания комара в Болоте 1 равно 5 дням. Следовательно, в целом комар должен проводить в Болоте 0 вдвое больше времени, чем в Болоте 1, что и было сказано выше.

Однако – и это было смертельным ударом для Павла Алексеевича – величины в этой последовательности не независимы. Ничего подобного! Нынешнее и завтрашнее местоположение комара очень сильно зависимы и в подавляющем большинстве случаев будут совпадать. Но тем не менее закон больших чисел применим. Независимость не нужна. О математическом доказательстве свободы воли можно забыть.

Последовательность таких случайных величин называется цепью Маркова в случае, если каждая следующая величина зависит только от одной предыдущей, но не от тех, что были в цепи ранее. Если вы хотите знать, где будет завтра комар, неважно, где он был вчера или позавчера, – важно только то, где он находится сегодня[160]. Каждая случайная величина связана со следующей, как звенья цепи. Даже если сеть болот и путей между ними будет более сложной (но останется при этом конечной[161]), доля времени, которую комар проведет на каждом из болот, будет стремиться к некоторому фиксированному числу, как и в случае монет или игральных костей. Если раньше у нас был только закон больших чисел, то теперь появился закон долгих блужданий.

В первом десятилетии XX века не существовало мирового научного сообщества в современном виде, и математические работы пересекали границы с большим трудом. Эйнштейн не знал о работе Башелье со случайными блужданиями. Марков не знал об Эйнштейне. Никто из них не знал о Рональде Россе. И тем не менее все они пришли к одним и тем же заключениям. Невозможно избавиться от ощущения, что в начале 1900-х годов нечто витало в воздухе – какое-то болезненное осознание неизбежной пузырящейся случайности, лежащей в основе вещей. (Не говоря уже о развитии квантовой механики, которая в итоге вплетет вероятность в физику совершенно другим путем.) Говорить о геометрии пространства (вне зависимости от того, является ли оно сосудом с жидкостью, пространством рыночных состояний или кишащим комарами болотом) – значит говорить о том, как что-то в нем движется, и, похоже, во всем мире геометрии не найдется области, где случайное блуждание не оказалось бы иллюстративным инструментом. Позже мы увидим, что цепи Маркова играют крайне важную роль при изучении способов разделения штатов на избирательные округа, а прямо сейчас посмотрим, как они применяются к чисто абстрактному пространству самого английского языка.