Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

НЕ САМЫЕ ВАЖНЫЕ ИЗ БОЖЬИХ МЫСЛЕЙ

В середине 1910-х годов Росс был полностью готов взяться за проблему, которую обдумывал еще в Мадрасе, – создание математической теории для эпидемий вроде той, что Ньютон создал для небесных тел. На самом деле это было недостаточно амбициозно для Росса: он хотел разработать теорию, которая описывала бы количественное распространение любого изменения состояния у людей – переходы между религиями, выборы в профессиональные сообщества, призывы в армию и, разумеется, распространение эпидемических заболеваний. Он назвал ее теорией событий. В 1911 году Росс писал своему протеже Андерсону Маккендрику: «Мы в итоге создадим новую науку[357]. Но сначала мы с тобой отопрем дверь, куда сможет войти кто угодно».

И – несмотря на высокое мнение о собственных способностях и склонность к любительству – он сделал то, что должен был сделать, чтобы открыть эту дверь: нанял себе в помощь настоящего математика. Ее звали Хильда Хадсон. Хадсон была гораздо более сильным математиком, чем Росс. Ее первой публикацией стало новое краткое доказательство[358] одного из утверждений Евклида, полученное путем искусного деления квадрата на более мелкие фигуры. Девочке тогда исполнилось десять лет. (Помогло то, что оба ее родителя тоже были математиками.)

Хадсон работала в области, которая объединяет геометрию и алгебру и называется (увы, мы не всегда придумываем изобретательные названия) алгебраической геометрией. Рене Декарт первым систематически использовал идею, что точки на плоскости можно представлять в виде пары чисел – абсциссы x и ординаты y, и это позволяет рассматривать геометрические объекты как алгебраические. Тогда окружность (множество точек, находящихся на определенном расстоянии от данной точки-центра) – это, например, множество пар чисел (x, y), таких, что x2 + (y – 5)2 = 25[359]. Ко времени работы Хадсон сочетание алгебры и геометрии стало самостоятельным предметом и исследовало не только кривые на плоскости, но и фигуры в пространствах любых размерностей. Хадсон была ведущим специалистом в области так называемых преобразований Кремоны[360] для двух- и трехмерных тел и в 1912 году стала первой женщиной, прочитавшей лекцию на Международном конгрессе математиков.

Если я скажу, что преобразование Кремоны – это «бирациональный автоморфизм проективного пространства», то это будет простым швырянием фонем в вашу сторону, так что позвольте мне пойти другим путем. Что такое 0/0? Наверное, когда-то вы узнали, что нужно отвечать «неопределенность»; это верно, но это также выход для трусов. На самом деле все зависит от того, какие нули вы делите! Каково отношение площади квадрата размером ноль на ноль к его периметру? Разумеется, вы можете сказать, что это не определено, но почему бы не проявить смелость и не определить это? Если сторона квадрата равна 1, то отношение равно 1/4, или 0,25. Когда сторона уменьшается до 1/2 (и периметр равен 2), то отношение составляет 1/8. Если длина стороны 0,1, то отношение равно 0,01 / 0,4 = 0,025. Отношение становится все меньше и меньше, а это означает, что есть только один хороший ответ на вопрос, что произойдет, когда квадрат сожмется в точку: в этом случае 0 / 0 = 0. Теперь рассмотрим отношение длины отрезка в сантиметрах к длине отрезка в дюймах. Что будет с ним, если отрезок начнет сжиматься в точку? Поскольку дюйм равен 2,54 сантиметра, то это отношение составит 2,54 и для длинных, и для коротких отрезков, а потому, когда отрезок сожмется до точки, такое отношение 0/0 должно быть 2,54.

Вы можете последовать примеру Декарта и думать о паре чисел как о точке на плоскости. Точка (1, 2) находится на 1 правее и на 2 выше начала координат. Отношение 2/1 – это наклон прямой, соединяющей точку (1, 2) и начало координат (0, 0). Когда точка расположена в самом начале координат (0, 0), нет никакой соединяющей прямой, поэтому нет и наклона. Простейший вид преобразования Кремоны – заменить плоскость очень похожей геометрией, где точка (0, 0) заменяется множеством точек – на самом деле бесконечным количеством точек! Каждая запоминает не только свое место (0, 0), но и наклон – как если бы вы отслеживали не только свое местоположение, но и направление, по которому туда добрались[361]. Подобное преобразование, когда одна точка превращается в бесконечное множество, называется раздутием. Хадсон изучала гораздо более сложные преобразования Кремоны в пространствах более высокой размерности; вы могли бы назвать их общей геометрической теорией присваивания значений тем «неопределенным» отношениям, от которых отказался бы более робкий вычислитель.

В 1916 году, в самом начале работы с Россом, Хадсон опубликовала целую книгу о построениях в стиле Евклида с помощью циркуля и линейки[362] – теми же инструментами Авраам Линкольн тщетно пытался квадрировать круг. Хадсон отличалась такой мощной геометрической интуицией, что ее работы иногда критиковали за недостаточность доказательств: для нее были очевидны вещи, которые стоило бы подкреплять в письменной форме для тех из нас, кто менее способен мысленно представлять геометрические поверхности. Нет никаких подтверждений, что Росс, несмотря на всю свою любовь к геометрии, как-то участвовал или интересовался работой Хадсон в сфере чистой математики. Возможно, это и к лучшему, потому что алгебраической геометрией занималось много итальянцев.

Первая статья Росса и Хадсон начинается с солидного списка ошибок из предыдущей работы Росса. Росс ссылался на то обстоятельство, что он был за границей, когда оттиски статьи прислали для проверки; я же предпочитаю думать, что Хадсон начала свое сотрудничество с Россом с ненавязчивого замечания об ошибках в работе, выполненной им до ее появления. О взаимодействии между ними известно очень мало: Росс упомянул Хадсон в своих мемуарах всего один раз, однако интересно представить отношения между этими двумя очень разными учеными. Росс обладал непомерными амбициями, Хадсон – глубинными знаниями математики. У Росса были звания, должности и награды, Хадсон в эпоху практически чисто мужского преподавательского состава была простым лектором. Если у Росса и были религиозные чувства, то он не придавал им большого значения; в жизни набожной Хадсон христианство было основополагающим. После публикации труда о преобразованиях Кремоны в 1927 году она, похоже, оставила математику и многие годы работала в студенческом христианском движении. Ее эссе 1925 года «Математика и вечность» – замечательный документ того интеллектуального мира, где вера и наука ощущали определенную необходимость оправдывать себя друг перед другом. «Мы можем думать о присутствии Бога на уроке алгебры[363], – писала Хадсон, – лучше, чем на кухне брата Лаврентия[364]; и в полном одиночестве в скромном уголке исследовательской работы – лучше, чем на вершине горы». Каждый математик, верующий или нет, поймет, что она имеет в виду в следующей сентенции, которую следует помнить:

Идеи чистой математики истинны[365], не приблизительны и не сомнительны; возможно, они не самые интересные или важные мысли Бога, но они – единственные, о которых мы точно знаем.