Быстрая математика: секреты устного счета

Формулы для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 1 и 9

1. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 1

Чтобы возвести в квадрат 31, сначала возводим в квадрат 30, получая 900.

Затем удваиваем 30, что дает нам 60, и прибавляем это число к предыдущему результату.

900 + 60 = 960

Теперь прибавляем 1.

960 + 1 = 961

Это простое вычисление сродни умножению в столбик или прямому умножению.

Для нахождения произведения 31 х 31 можно также использовать следующую алгебраическую формулу:

(а + 1)2 = (а + 1) х (а + 1)

(а + 1) х (а + 1) = а2 + 2а + 12

В нашем случае (312) a = 30.

Возводим 30 в квадрат, получая 900. Затем удваиваем а, как того требует формула, и получаем 60. Нам не нужно возводить в квадрат 1, поскольку единица, сколько ее ни умножай на саму себя, остается единицей.

Польза от данной формулы в том, что она превращает процесс умножения в простую последовательность и позволяет производить вычисления в уме.

2. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 9

При возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 9, мы используем ту же формулу, что и для чисел, оканчивающихся на 1, однако вместо 1 берем —1.

Пример:

292 =

Чтобы вычислить 292, округлим 29 до 30. Квадрат 30 равен 900. Теперь удваиваем 30, получая 60, и вычитаем это число из предыдущего результата.

900 — 60 = 840

Теперь прибавим 1.

840 + 1 = 841

Стандартная формула выглядит так: (а + 1) х (а + 1). В данном же случае единица берется со знаком «минус», поэтому записываем:

(a — 1) х (a — 1)

Раскрывая скобки, получаем:

a2 — 2a + 1

Это то же самое, что мы проделывали, вычисляя 292.

Вспомним, что а = 30. Возводим 30 в квадрат и получаем 900. На этот раз мы вычитаем 2а (60) из 900, получая 840. —1 в квадрате, то есть (—1), равно 1, которое мы также прибавляем и получаем в результате окончательный ответ: 841.

Данный подход проще, чем стандартное умножение в столбик.