Быстрая математика: секреты устного счета

Способ округления в сторону увеличения

Если цифра в разряде единиц в делителе велика, можно следовать видоизмененной процедуре.

Например:

2590: 69 =

Заменяем 69 на 70 — 1.

Делим на 10, а потом на 7, внося поправки по ходу.

25 делится на 7 три раза (3 х 7 = 21) с остатком 4. Приписываем 4, как и прежде, к следующей цифре делимого, что дает нам рабочее число 49. Теперь умножаем полученную цифру ответа (3) на 1, которую мы рассматриваем цифрой единиц в делителе. В ответе получаем 3. Прибавляем его к рабочему числу и получаем 52. Разделив 52 на 7, получим 7 с остатком 3. Записываем 7 и переносим 3. Получаем новое рабочее число: 30.

Теперь умножим последнюю полученную цифру ответа (7) на 1, что даст нам 7. Прибавим 7 к 30 и получим 37. 37, деленное на 7, дает 5 с остатком 2. Записываем 5 следующей цифрой и переносим 2. Получили рабочее число 20. Прибавим к нему 5 х 1 = 5 и получим 25. 25, деленное на 7, равно 3 с остатком 4. Переносим 4 и получаем новое число 40. Прибавляем к нему 3, получаем 43. 43, деленное на 7, дает 6 — это следующая цифра нашего ответа. Можно продолжать до любого количества знаков после запятой. Решение до трех знаков после запятой выглядит следующим образом:

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 2671: 41 = __; б) 3825: 58 = __; в) 3825: 62 = __; г) 2536: 39 = __

Ответы:

а) 65,146; б) 65,948; в) 61,69; г) 65,0256

Если вы округляете исходный делитель в сторону увеличения, получая вспомогательный делитель, то корректирующую величину следует прибавлять к рабочему числу. Если же вы округляете исходный делитель в сторону уменьшения, то корректирующую величину следует вычитать из рабочего числа.

Запомнить, следует ли прибавлять или вычитать корректирующую величину, помогает следующий способ: представьте, что вам надо разделить 15 подарков на 9 или 11 человек. В каком случае в результате деления получится больший остаток? Если бы вы делили на 10, то вам пришлось бы прибавить 1, корректируя ответ, полученный от деления на 9. В другом же случае вы вычитали бы 1, чтобы скорректировать ответ, полученный от деления на 11.

Укажу на трудность, возникающую при использовании данного метода, и объясню, как с ней можно справиться.

Вычислим 2536: 39. Вот таким образом я записываю условие задачи:

Я записываю делитель (39), затем +1 над ним, чтобы получить наш рабочий делитель 40. (Знак «плюс» говорит о том, что необходимо прибавить 1, умноженное на последнюю полученную цифру ответа.)

Чтобы разделить на 40, делим сначала на 10, а потом на 4. 2536, деленное на 10, дает 253,6. Теперь разделим на 4, внося по ходу вычислений поправки.

25 делится на 4 шесть раз с остатком 1. Переносим 1 к следующей цифре (3), что дает нам 13.

Теперь внесем поправку. 6 на +1 дает +6. Прибавим 6 к нашему рабочему числу 13 и получим 19. 19, деленное на 4, дает 4 с остатком 3. Записываем в ответ 4 и перенесем 3, получая 36 в качестве следующего рабочего числа.

4, умноженное на +1, дает +4. 36 плюс 4 равно 40. 40, деленное на 4, будет 10.

Теперь мы столкнулись с проблемой. 10 не годится для ответа, поэтому мы делаем вывод, что предыдущая полученная цифра была слишком малой. Повышаем ее с 4 до 5.

19 делится на 4 пять раз с остатком —1.

(Иными словами, 5 х 4 = 20. 19 — рабочее число; оно равно 20 — 1.)

Когда переносим 1 к следующей цифре, эта единица представляет собой число 10. (2 представляет 20, 3 представляет 30 и т. д. Иными словами, мы умножаем переносимую цифру на 10.)

Умножим последнюю цифру ответа (5) на +1, получаем +5. Следующим рабочим числом является 1: 6 (помним о —10) плюс 5, то есть 11, минус 10.

1 делится на 4 нуль раз с остатком 1.

Следующим рабочим числом будет 10. 10 плюс 0, а затем умноженное на +1, дает 10.

10 делится на 4 два раза с остатком 2.

Наше рабочее число теперь 20. Имеем: (20 + 2) х 1 = 22.

22, деленное на 4, дает 5 с остатком 2.

Очередным рабочим числом является 20: (20 + 5) х 1 = 25.

25, деленное на 6, дает 4 с остатком 1.

10 плюс 6 равно 16. 16 при делении на 4 дает 4. Видим, что полученный ответ — 65,0256 — точен до 4 десятичных знаков.

Когда в одном месте получилось 10 в результате деления рабочего числа на рабочий делитель, мы поняли, что нужно увеличить последнюю цифру ответа на 1. Затем мы получили отрицательный остаток, подлежащий переносу, который должен, по идее, быть увеличен в 10 раз (поскольку остаток переносится из более высокого разряда). Не прибавляйте этот остаток к очередной цифре делимого вплоть до того (а точнее, не вычитайте, поскольку речь идет об отрицательном числе), как вы умножили последнюю полученную цифру ответа на корректирующий множитель и прибавили полученное число к текущей цифре делимого, так как всегда легче вычесть в конце число, кратное 10, чем вычесть его в начале, а затем работать с отрицательными числами.