Быстрая математика: секреты устного счета

Сравнение методов

Каким был бы наш ответ, если бы мы оценивали приближенное значение корня посредством метода, описанного в предыдущей главе?

Определяем 2 в качестве оценки для первой цифры ответа. Следующие две цифры автоматически становятся нулями. Первой оценкой искомого корня является 200.

Разделим 54756 на 200. Сначала разделим на 100, а потом на 2.

54756: 100 = 547,56

547: 2 = 273

Находим среднее для 200 и 273, получим 236. Мы могли бы округлить в сторону уменьшения до 235 — на единицу больше, чем истинный ответ, что соответствует ошибке в размере примерно 0,5 процента. Такая точность вполне приемлема для большинства ситуаций. Однако, если вы желаете получить точное значение корня, тогда метод перекрестного умножения является самым простым из всех известных мне.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) √3249 = __; б) √2116 = __; в) √103041 = __

Ответы:

а) 57; б) 46;

Решим пример в) вместе:

√103041 =

Разобьем цифры числа на пары:

Есть три пары цифр, поэтому и в ответе будет три цифры в целой части.

Вычисляем приближенное значение квадратного корня из числа, образованного из цифр первой пары, то есть из числа 10. 3 на 3–9. 4 не годится, потому что 4 в квадрате превышает 10. Значит, первой цифрой ответа будет 3. Таким образом, нашим делителем является 6.

3 в квадрате дает 9. Поделив 10 на 9, получаем остаток 1. Переносим его к следующей цифре. Это дает нам новое рабочее число — 13.

Делим 13 на делитель 6:

13: 6 = 2 r1

Следующая цифра ответа — 2, а рабочее число — 10.

Выполняем перекрестное умножение с цифрой 2 и получаем 4. Вычтем 4 из рабочего числа:

10 — 4 = 6

Делим 6 на 6.

6: 6 = 1

1 — это последняя цифра целой части нашего ответа. У нас нет остатка для переноса.

Нашим новым рабочим числом будет 4. Выполняем перекрестное умножение. Такое умножение для числа 21 дает в ответе 4 (2 х 1 = 2, 2 х 2 = 4). Вычтем 4 из 4 и получим в результате 0.

Новым рабочим числом является 1.

Выполняем перекрестное умножение:

0 х 2 = 0

12 = 1

Вычтем 1 из 1. Нашим последним результатом является 0, поэтому 103041 — точный квадрат. Квадратный корень из этого числа равен 321.

Немного попрактиковавшись, вы сможете выполнять все вышеприведенные вычисления в уме, что произведет большое впечатление на окружающих.

Вопрос читателя

Один читатель спросил меня, как бы я находил квадратный корень из числа 2401.

После разбивки цифр на пары задача выглядит следующим образом:

Мы имеем две пары цифр, поэтому в ответе будут две цифры.

Читатель спрашивает: «Когда я беру 4 в качестве приближения квадратного корня из 24 (4 х 4 = 16), то получаю в качестве делителя 8, а затем, вычитая 16 из 24, получаю 8, которое после переноса к следующей цифре 0 дает 80, а 80 делится на 8 десять раз. Что я делаю не так?»

Есть небольшой нюанс. Поскольку 10 не является цифрой, мы уменьшаем 10 на 1, получая в качестве второй цифры ответа 9, а также остаток 8, который мы переносим к следующей цифре 1, имея в результате 81.

Выполняем перекрестное умножение с цифрой 9 (9 в квадрате), что дает в ответе 81. Вычтем 81 из текущего рабочего числа (81).

81 – 81 = 0

Итак, мы имеем нулевой остаток. Ответ (49) является точным квадратным корнем.

Затем читатель спросил, как бы я вычислял следующий квадратный корень:

√23222761 =

Разбиваем цифры на пары и получаем:

Полностью решенная задача выглядит следующим образом:

Каждый раз, выполняя деление, вам необходимо помнить о том, что переносимый остаток должен давать результат, превышающий число, получаемое в итоге перекрестного умножения. Кроме того, 9 является самым большим значением, которое можно использовать в качестве остатка, даже если в результате деления выходит 10 или 11. Если деление не дает остатка, а у вас в ответе уже имеются цифры, с которыми можно выполнить перекрестное умножение, необходимо уменьшить результат, по крайней мере, на 1.

Я обычно использую первый метод для вычисления приближенного значения квадратного корня; но если мне нужен точный ответ, я применяю способ, рассмотренный в настоящей главе. Чем больше числа, с которыми вы имеете дело, тем труднее будут вычисления, поскольку приходится выполнять перекрестное умножение с большим количеством цифр. К тому же метод приближенного вычисления квадратного корня проще сам по себе.

Давайте сравним оба метода в процессе нахождения квадратного корня из 196. Сначала методом оценки:

Разделим число на пары цифр. Их две, поэтому в ответе будут две цифры.

Находим приближение для квадратного корня из числа, составленного из цифр первой пары (1).

Квадратный корень из 1 равен 1. Первая цифра ответа — 1.

Второй цифрой будет, как обычно, 0. Первое приближение, таким образом, равняется 10.

196: 10 = 19,6

Округляем в сторону уменьшения и находим среднее. Округляем до 19. Разница равна 9 (19–10 = 9). Половина от 9 равна 4,5. Прибавляем 4,5 к 10 и получаем ответ: 14,5.

Чтобы повысить точность, можно использовать 15 в качестве второй оценки.

Делим 196 на 15. Простой способ сделать это состоит в том, чтобы удвоить оба числа (196 = 200 — 4, удвоив 200 — 4, получаем 400 — 8). Теперь мы имеем 392: 30. Чтобы разделить 392 на 30, делим сначала на 10, а затем на 3.

392: 10 = 39,2

39,2: 3 = 13,06

Округляем в сторону уменьшения до 13.

Разделим разницу между 13 и 15. Половина от 2 равна 1. Отнимаем это от нашей исходной округленной оценки (15 — 1 = 14). Ответом является 14 — точный корень из 196.

Как работал бы наш метод с перекрестным умножением в случае извлечения корня из 196?

√196 =

Разобьем число на пары цифр:

Оцениваем значение квадратного корня из числа, составленного из цифр первой пары (1). Квадратный корень из 1 равен 1. Это первая цифра ответа. Удваиваем ее и получаем делитель. 2 на 1–2.

Делим следующую цифру числа (9) на делитель.

9: 2 = 4 с остатком 1

Записываем 4 в качестве второй цифры ответа и переносим остаток к следующей цифре (6), получая в итоге 16.

Выполняем перекрестное умножение (возводим в квадрат) для цифры 4 в ответе (первую цифру, как требует метод, мы не трогаем) и отнимаем результат из нашего рабочего числа 16. 4 в квадрате дает 16, вычитаем его из 16 и получаем 0. Таким образом, 196 — точный квадрат (числа 14).

В данном конкретном случае метод, представленный в настоящей главе, применять легче, чем метод оценки значения из предыдущей главы. Таким образом, у вас теперь есть выбор.