Быстрая математика: секреты устного счета

Выбрасывание одиннадцати

Выбрасывание одиннадцати — это еще один простой способ проверить полученный ответ. Его преимущество перед выбрасыванием девяток в том, что он позволяет определить, не была ли десятичная запятая ошибочно поставлена не в том месте и нет ли лишнего или, наоборот, недостающего нуля. Особую пользу он приносит в качестве дополнительной проверки к выбрасыванию девяток. Когда я умножаю на число, кратное 11 (например, 66 или 77), то использую этот метод вместе с выбрасыванием девяток.

Теперь я покажу вам два простых способа нахождения остатка от деления на 11 (выбрасывания одиннадцати).

Очень простое правило для нахождения остатка действует в случае двузначных чисел: просто отнимите цифру десятков от цифры единиц. Если цифра единиц меньше цифры десятков, тогда прибавьте к ней сначала 11.

Например:

13 х 14 = 182

Первое число у нас 13. Вычтем 1 (цифру десятков) из 3 (цифры единиц) и получим в ответе 2. Таким образом, 2 является нашим остатком.

Второе число (14) имеет остаток 3 (4–1 = 3) после выбрасывания одиннадцати.

Для нахождения остатка у числа с большим количеством знаков:

Отметьте цифры, расположенные на четных местах, с первой цифры до десятичной запятой (в случае целых чисел — начиная с первого числа справа). Отнимите цифры на четных местах от цифр на нечетных.

Чтобы найти остаток от выбрасывания одиннадцати для числа 182, отмечаем цифры на четных местах.

1 8 2

*

8 — это вторая цифра справа. Цифрами на нечетных местах являются 1 и 2. Складывая их, получаем:

1 + 2 = 3

Нельзя вычесть 8 из 3, поэтому прибавим 11 к 3.

3 + 11 = 14

14 — 8 = 6

6 — это наше контрольное число.

Числами-подстановками для 13 и 14 являются 2 и 3. Перемножая их, мы должны получить контрольное число:

2 х 3 = 6

Результат совпадает с нашим контрольным числом, поэтому ответ мы получили верный.

Выбрасывание девяток позволило бы нам сделать проверку с меньшими усилиями. Зачем вообще выбрасывать одиннадцать? Если бы в ответе у нас получилось 18,2, а не 182, выбрасывание девяток не позволило бы определить ошибку, а выбрасывание одиннадцати позволило бы. Или, если бы нашим ответом являлось 1712 (в результате неправильного использования нами способа перемножения чисел больше 10, но меньше 20), выбрасывание девяток признало бы данный ответ верным. А выбрасывание одиннадцати и на этот раз показало бы наличие ошибки.

Давайте проверим оба упомянутых ответа путем выбрасывания одиннадцати:

Цифры на четных местах дают в сумме 3 (1 + 2 = 3). Цифра на нечетном месте — 8. Остатком является 5 (8 – 3 = 5).

Задача превращается в:

2 х 3 = 5

Это заведомо ложное утверждение.

Другим нашим неверным ответом являлось число 1712:

Суммируя цифры на четных местах (1 + 1), получаем 2. Цифры на нечетных местах (7 и 2) дают в сумме 9.

9 – 2 = 7

Если бы ответ был правильным, мы получили бы равенство и у чисел-подстановок. Однако мы опять получаем заведомо ложное равенство:

2 х 3 = 7

Выбрасывание одиннадцати позволило определить ложность ответов в обоих рассмотренных случаях, тогда как выбрасывание девяток привело бы нас к выводу, что ответы являются правильными.

Рассмотрим еще один пример:

1,3 х 14 = 18,2

В числе 1,3 цифра 1 находится на нечетном месте, являясь цифрой, от которой ведется отсчет, то есть первой, а цифра 3, соответственно, — на четном.

Вычитаем 3 из 1. Поскольку 1 меньше 3, прибавляем 11.

11 + 1 = 12

Теперь можно вычесть 3 из 12.

12 — 3 = 9

Вычитаем 1 из 4, чтобы узнать остаток для числа 14.

4 – 1 = 3

В ответе (18,2) цифры 1 и 2 находятся на четных местах, а цифра 8 — на нечетном.

1 + 2 = 3

8 – 3 = 5

Наша задача выглядит так:

9 х 3 = 5

9 на 3 — 27. Чтобы найти число-подстановку для 27, вычитаем 2 из 7.

7 минус 2 равно 5, что совпадает с нашим контрольным числом.

Если бы мы получили в ответе 1,82 или 182, выбрасывание девяток не позволило бы определить ошибку.

Найдите остаток от выбрасывания одиннадцати для следующих чисел:

а) 123; б) 5237; в) 716; г) 625174; д) 2156; е) 8137

Ответы:

а) 2; б) 1; в) 1 (12, затем 1); г) 0; д) 0; е) 8

Если вы не запомнили, как находить остаток от выбрасывания одиннадцати, вернитесь назад и перечитайте описание. Метод стоит потраченных усилий.

Теперь вы, вероятно, вполне в состоянии использовать метод на практике. Ниже вам предлагаются примеры для самостоятельного решения. Проверьте ответы.

а) 17 х 17 = 289; б)154 х 23 = 3542; в) 32 х 41 = 1312; г) 46 х 42 = 1942

Один из ответов является неправильным. Я не скажу вам какой. Замечу только, что выбрасывание девяток также позволит определить ошибку. Попробуйте выполнить двойную проверку.

Используя любой из описанных методов, будь то выбрасывание девяток или одиннадцати, я иногда предпочитаю выполнять дополнительную проверку, а именно — путем оценки приближенного значения, получаемого в ответе.

Все эти методы являются очень полезными, особенно если вы работаете с числами в школе или на рабочем месте.