Быстрая математика: секреты устного счета
- Автор: Билл Хэндли
- Жанр: Математика / Детская образовательная литература
- Дата выхода: 2014
Читать книгу "Быстрая математика: секреты устного счета"
Почему метод работает?
Если мы хотим проверить, делится ли одно число на другое, прибавление последнего или кратного последнему к первому не повлияет на делимость.
Когда мы проверяем, делится ли 91 без остатка на 7, то на самом деле прибавляем 49 (7 х 7) к 91, получая в ответе 140. Если мы уберем нуль в конце, это никак не изменит результат.
Проверяя, делится ли 112 на 7, мы умножаем 2 на 5 и получаем 10.
После этого 11 + 10 = 21, что, в свою очередь, равно 7 х 3.
Прибавить 100 к 110 — это то же самое, что прибавить 98 (2 х 49 или 7 х 7 х 2) к 112.
98 + 112 = 210
210 = 3 х 7 х 10
Внимательно рассмотрим вспомогательный множитель для 13. Прежде всего определим, какое число является вспомогательным множителем для 13?
3 х 13 = 39
39 на 1 меньше, чем 40, поэтому берем 4 (цифру десятков числа 40) в качестве вспомогательного множителя. Чтобы проверить, делится ли число на 13, умножим цифру единиц на 4 и прибавим к полученной сумме цифру десятков.
Например, делится ли 78 без остатка на 13?
Цифрой единиц является 8:
8 х 4 = 32
32 + 7 (цифра десятков числа 78) = 39 (3 х 13)
Поскольку 39 равно 3 х 13, получаем, что 78 кратно 13. Если мы сомневаемся насчет 39, можно продолжить процесс:
9 х 4 = 36
36 + 3 = 39
Поскольку мы получили то же число, можно с уверенностью сказать, что исходное число без остатка делится на 13. Рассмотрим другой пример. Является ли 351 кратным 13? Цифрой единиц является 1:
1 х 4 = 4
4 + 35 = 39 (39 = 3 х 13)
Итак, мы доказали, что 351 кратно 13.
А как насчет 3289? Делится ли оно без остатка на 13? Проверяемое число оканчивается на 9:
9 х 4 = 36
328 + 36 = 364
Мы не знаем, делится ли 364 на 13, поэтому на этот раз подвергаем проверке число 364.
Его последней цифрой является 4.
4 х 4 = 16
36 + 16 = 52 (52 = 13 х 4)
Если бы мы не знали, что 52 равно 13 х 4, то могли бы продолжить проверку далее.
Цифрой единиц числа 52 является 2.
2 х 4 = 8
5 + 8 = 13
Теперь мы знаем наверняка, что 3289 без остатка делится на 13.
А как насчет делимости на другие числа из нашего списка в начале главы?
Чтобы проверить делимость на 17, в качестве вспомогательного множителя берем 12; для 19 — 2; для 3–7; для 29 — 3. Данные множители могут быть найдены с помощью метода для определения вспомогательных множителей.
Например, является ли 578 кратным 17?
Большинству из нас деление на 17 покажется довольно непростой задачей. И мы, скорее всего, воспользуемся калькулятором.
Нам известно, что 12 является вспомогательным множителем при проверке делимости на 17. Умножаем 8 (цифру единиц числа 578) на 12.
12 х 8 = 96
96 + 57 = 153
То, что 153 без остатка делится на 17, не является очевидным. Попробуем снова.
3 х 12 = 36
36 + 15 = 51
Если вы не уверены насчет 51, продолжим процесс:
1 х 12 = 12
12 + 5 = 17
Очевидно, что 17 делится без остатка на 17. Поэтому 578 кратно 17.
Замечание: чуть позже я покажу альтернативный метод, с помощью которого можно проверить делимость на 17.
Рассмотрим какой-нибудь пример в обратную сторону. Произведение 7 х 13 равно 91, поэтому 91 является кратным для обоих чисел.
Проверка для 7:
1 х 5 = 5
5 + 9 = 14
14 равно 2 х 7, поэтому 91 без остатка делится на 7. Проверка для 13:
1 х 4 = 4
4 + 9 = 13
Таким образом, 91 делится на 13.
Попробуйте определить делимость самостоятельно:
а) Является ли 266 кратным 19?
б) Является ли 259 кратным 7?
в) Является ли 377 кратным 13?
г) Является ли 377 кратным 29?
Ответ утвердительный в каждом случае.